Lời giải chi tiết 57 bài tập Dấu hiệu chia hết Toán tiểu học: Phương pháp & Đáp án chuẩn

Bài 1: Từ 3 chữ số 0, 1, 2. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2.

📖 Hướng dẫn giải:

• Chữ số hàng trăm phải khác 0 nên có thể chọn 1 hoặc 2.

• Vì số chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng (hàng đơn vị) phải là số chẵn: 0 hoặc 2.

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0 ⇒ Ta viết được các số: 120, 210.

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 2 ⇒ Ta viết được số: 102.

→ Đáp số: Có 3 số là 120, 210, 102.

Bài 2: Viết tất cả các số chia hết cho 5 có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 1, 2, 5.

📖 Hướng dẫn giải:

• Số chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng phải là 0 hoặc 5.

Trường hợp 1: Tận cùng là 0

• Còn lại 3 chữ số 1, 2, 5 để xếp vào hàng nghìn, trăm, chục:

• Có 3 × 2 × 1 = 6 số: 1250, 1520, 2150, 2510, 5120, 5210.

Trường hợp 2: Tận cùng là 5

• Còn lại các chữ số 0, 1, 2. Hàng nghìn phải khác 0 nên chỉ chọn 1 hoặc 2:

• Hàng nghìn là 1: 1025, 1205.

• Hàng nghìn là 2: 2015, 2105.

→ Đáp số: Có tất cả 10 số: 1250, 1520, 2150, 2510, 5120, 5210, 1025, 1205, 2015, 2105.

Bài 3: Em hãy viết vào dấu * ở số 86* một chữ số để được số có 3 chữ số và là số:

• Số có dạng 86*. Tổng các chữ số đã biết là 8 + 6 = 14.

a) Chia hết cho 2:

• Chữ số tận cùng * phải là số chẵn: * ∈ \{0, 2, 4, 6, 8\}.

→ Đáp số: Các số là 860, 862, 864, 866, 868.

b) Chia hết cho 3:

• Tổng các chữ số (14 + *) \;⋮\; 3 ⇒ * ∈ \{1, 4, 7\}.

→ Đáp số: Các số là 861, 864, 867.

c) Chia hết cho 5:

• Chữ số tận cùng * ∈ \{0, 5\}.

→ Đáp số: Các số là 860, 865.

d) Chia hết cho 9:

• Tổng các chữ số (14 + *) \;⋮\; 9 ⇒ * = 4 (vì 14 + 4 = 18 \;⋮\; 9).

→ Đáp số: Số 864.

e) Chia hết cho cả 2 và 5:

• Chữ số tận cùng * = 0.

→ Đáp số: Số 860.

g) Chia hết cho cả 3 và 9:

• Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3. Tổng (14 + *) \;⋮\; 9 ⇒ * = 4.

→ Đáp số: Số 864.

Bài 4: Hãy tìm các chữ số x, y sao cho 17x8y chia hết cho 5 và 9.

📖 Hướng dẫn giải:

• Vì 17x8y \;⋮\; 5 ⇒ y = 0 hoặc y = 5.

TH1: y = 0

• Số là 17x80.

• Để chia hết cho 9: (1 + 7 + x + 8 + 0) \;⋮\; 9 ⇒ (16 + x) \;⋮\; 9 ⇒ x = 2.

TH2: y = 5

• Số là 17x85.

• Để chia hết cho 9: (1 + 7 + x + 8 + 5) \;⋮\; 9 ⇒ (21 + x) \;⋮\; 9 ⇒ x = 6.

→ Đáp số: (x = 2, y = 0) hoặc (x = 6, y = 5).

Bài 5: Tìm x, y để x765y chia hết cho 3 và 5.

📖 Hướng dẫn giải: (x ≠ 0)

• Vì x765y \;⋮\; 5 ⇒ y = 0 hoặc y = 5.

TH1: y = 0

• Số là x7650.

• Để chia hết cho 3: (x + 7 + 6 + 5 + 0) \;⋮\; 3 ⇒ (x + 18) \;⋮\; 3 ⇒ x \;⋮\; 3.

• Vì x ≠ 0 nên x ∈ \{3, 6, 9\}.

TH2: y = 5

• Số là x7655.

• Để chia hết cho 3: (x + 7 + 6 + 5 + 5) \;⋮\; 3 ⇒ (x + 23) \;⋮\; 3 ⇒ x ∈ \{1, 4, 7\}.

→ Đáp số: (x, y) ∈ \{(3, 0), (6, 0), (9, 0), (1, 5), (4, 5), (7, 5)\}.

Bài 6: Tìm x và y để số 1996xy chia hết cho 2, 5 và 9.

📖 Hướng dẫn giải:

• Số chia hết cho cả 2 và 5 nên chữ số tận cùng y = 0.

• Số trở thành 1996x0.

• Để chia hết cho 9: (1 + 9 + 9 + 6 + x + 0) \;⋮\; 9 ⇒ (25 + x) \;⋮\; 9 ⇒ x = 2.

→ Đáp số: x = 2, y = 0 (số 199620).

Bài 7: Tìm a và b để 56a3b chia hết cho 36.

📖 Hướng dẫn giải:

• Vì 36 = 4 × 9 (với ƯCLN(4, 9) = 1) nên 56a3b \;⋮\; 4 và 56a3b \;⋮\; 9.

• Để chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng 3b \;⋮\; 4 ⇒ b ∈ \{2, 6\}.

TH1: b = 2 ⇒ Số là 56a32.

• Chia hết cho 9: (5 + 6 + a + 3 + 2) \;⋮\; 9 ⇒ (16 + a) \;⋮\; 9 ⇒ a = 2.

TH2: b = 6 ⇒ Số là 56a36.

• Chia hết cho 9: (5 + 6 + a + 3 + 6) \;⋮\; 9 ⇒ (20 + a) \;⋮\; 9 ⇒ a = 7.

→ Đáp số: (a = 2, b = 2) hoặc (a = 7, b = 6).

Bài 8: Tìm tất cả các chữ số a và b để phân số 1a83b / 45 là số tự nhiên.

📖 Hướng dẫn giải:

• Phân số là số tự nhiên ⇔ 1a83b \;⋮\; 45 ⇔ 1a83b \;⋮\; 5 và 1a83b \;⋮\; 9.

• 1a83b \;⋮\; 5 ⇒ b = 0 hoặc b = 5.

TH1: b = 0 ⇒ (1 + a + 8 + 3 + 0) \;⋮\; 9 ⇒ (12 + a) \;⋮\; 9 ⇒ a = 6.

TH2: b = 5 ⇒ (1 + a + 8 + 3 + 5) \;⋮\; 9 ⇒ (17 + a) \;⋮\; 9 ⇒ a = 1.

→ Đáp số: (a = 6, b = 0) hoặc (a = 1, b = 5).

Bài 9: Tìm x để 37 + 2x5 chia hết cho 3.

📖 Hướng dẫn giải:

• 37 chia cho 3 dư 1.

• Để tổng 37 + 2x5 chia hết cho 3 thì 2x5 phải chia cho 3 dư 2.

• Tổng các chữ số của 2x5 là 2 + x + 5 = 7 + x.

• (7 + x) chia 3 dư 2 ⇒ (5 + x) \;⋮\; 3.

• Vì 0 ≤ x ≤ 9 nên x ∈ \{1, 4, 7\}.

→ Đáp số: x ∈ \{1, 4, 7\}.

Bài 10: Tìm a và b để số a391b chia hết cho 9 và chia cho 5 dư 1.

📖 Hướng dẫn giải: (a ≠ 0)

• Số chia cho 5 dư 1 nên b = 1 hoặc b = 6.

TH1: b = 1 ⇒ a3911 \;⋮\; 9 ⇒ (a + 3 + 9 + 1 + 1) \;⋮\; 9 ⇒ (a + 14) \;⋮\; 9 ⇒ a = 4.

TH2: b = 6 ⇒ a3916 \;⋮\; 9 ⇒ (a + 3 + 9 + 1 + 6) \;⋮\; 9 ⇒ (a + 19) \;⋮\; 9 ⇒ a = 8.

→ Đáp số: (a = 4, b = 1) hoặc (a = 8, b = 6).

Bài 11: Tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau abc, biết: ac / b7 = 2 / 3.

📖 Hướng dẫn giải:

• Ta có: 3 × ac = 2 × b7

3 × (10a + c) = 2 × (10b + 7)

30a + 3c = 20b + 14

• Chữ số tận cùng của 30a + 3c bằng chữ số tận cùng của 3c.

• Chữ số tận cùng của 20b + 14 là 4.

• Suy ra 3c có tận cùng là 4 ⇒ c = 8.

• Thay c = 8 vào: 30a + 24 = 20b + 14 ⇒ 30a + 10 = 20b ⇒ 3a + 1 = 2b.

• Vì 2b chẵn và 2b ≤ 18 ⇒ 3a + 1 chẵn ⇒ a lẻ (a ∈ \{1, 3, 5\}).

• Với a = 1 ⇒ 2b = 4 ⇒ b = 2 (thỏa mãn 3 chữ số 1, 2, 8 khác nhau) ⇒ abc = 128.

• Với a = 3 ⇒ 2b = 10 ⇒ b = 5 (thỏa mãn 3 chữ số 3, 5, 8 khác nhau) ⇒ abc = 358.

• Với a = 5 ⇒ 2b = 16 ⇒ b = 8 (loại vì trùng c = 8).

→ Đáp số: abc ∈ \{128, 358\}.

Bài 12: Cho số 5x1y. Hãy tìm x và y để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2, 3 và chia cho 5 dư 4.

📖 Hướng dẫn giải:

• Số chia hết cho 2 ⇒ y ∈ \{0, 2, 4, 6, 8\}.

• Số chia cho 5 dư 4 ⇒ y ∈ \{4, 9\}.

• Kết hợp lại được y = 4.

• Số có dạng 5x14.

• Để chia hết cho 3: (5 + x + 1 + 4) \;⋮\; 3 ⇒ (10 + x) \;⋮\; 3 ⇒ x ∈ \{2, 5, 8\}.

• Vì 4 chữ số phải đôi một khác nhau nên x ≠ 5, x ≠ 1, x ≠ 4 ⇒ x ∈ \{2, 8\}.

→ Đáp số: (x = 2, y = 4) hoặc (x = 8, y = 4).

Bài 13: Cho A = x036y. Tìm x và y để A chia cho 2, 5 và 9 đều dư 1.

📖 Hướng dẫn giải: (x ≠ 0)

• A chia 2 và 5 đều dư 1 ⇒ y = 1.

• Số là x0361.

• A chia cho 9 dư 1 ⇒ (x + 0 + 3 + 6 + 1) = x + 10 chia 9 dư 1 ⇒ x \;⋮\; 9 ⇒ x = 9.

→ Đáp số: x = 9, y = 1 (số A = 90361).

Bài 14: Tìm một số có 4 chữ số chia hết cho 2, 3 và 5, biết rằng khi đổi vị trí các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không đổi.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số cần tìm là abcd (a ≠ 0).

• Đổi hàng đơn vị (d) với hàng trăm (b) không đổi ⇒ b = d.

• Đổi hàng chục (c) với hàng nghìn (a) không đổi ⇒ a = c.

• Do đó số có dạng abab.

• Số chia hết cho 2 và 5 ⇒ b = 0.

• Số trở thành a0a0.

• Để chia hết cho 3: (a + 0 + a + 0) = 2a \;⋮\; 3 ⇒ a \;⋮\; 3 ⇒ a ∈ \{3, 6, 9\}.

→ Đáp số: Các số đó là 3030, 6060, 9090.

Bài 15: Tìm tất cả các số có 3 chữ số, biết rằng: mỗi số đó chia hết cho 5 và khi chia mỗi số đó cho 9 ta được thương là số có 3 chữ số và không có dư.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số cần tìm là N (100 ≤ N ≤ 999).

• N \;⋮\; 9 và thương N : 9 ≥ 100 ⇒ N ≥ 900.

• Do đó 900 ≤ N ≤ 999.

• N chia hết cho cả 5 và 9 ⇒ N \;⋮\; 45.

• Các bội của 45 trong đoạn [900, 999] là: 900, 945, 990.

→ Đáp số: 900, 945, 990.

Bài 16: Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải số 283 để được một số mới chia hết cho 2, 3 và 5.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số mới là 283xy.

• Chia hết cho 2 và 5 ⇒ y = 0.

• Chia hết cho 3 ⇒ (2 + 8 + 3 + x + 0) = 13 + x \;⋮\; 3 ⇒ x ∈ \{2, 5, 8\}.

→ Đáp số: Viết thêm 20, 50 hoặc 80 (được các số 28320, 28350, 28380).

Bài 17: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 5, biết rằng khi đọc ngược hay đọc xuôi số đó đều không thay đổi giá trị.

📖 Hướng dẫn giải:

• Số có dạng abba (a ≠ 0).

• Số chia hết cho 5 nên tận cùng a = 5.

• Số có dạng 5bb5, với b ∈ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.

→ Đáp số: Các số là 5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995.

Bài 18: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia cho 5 dư 3, chia cho 2 dư 1, chia cho 3 thì vừa hết và chữ số hàng trăm của nó là 8.

📖 Hướng dẫn giải:

• Số có dạng 8ab.

• Chia cho 2 dư 1 ⇒ b lẻ.

• Chia cho 5 dư 3 ⇒ b ∈ \{3, 8\}. Vì b lẻ nên b = 3.

• Số có dạng 8a3.

• Chia hết cho 3 ⇒ (8 + a + 3) = 11 + a \;⋮\; 3 ⇒ a ∈ \{1, 4, 7\}.

→ Đáp số: 813, 843, 873.

Bài 19: Tìm một số lớn hơn 80, nhỏ hơn 100, biết rằng lấy số đó cộng với 8 rồi chia cho 3 thì dư 2. Nếu lấy số đó cộng với 17 rồi chia cho 5 thì cũng dư 2.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số đó là x (80 < x < 100).

• (x + 8) chia 3 dư 2: Vì 8 chia 3 dư 2 nên x \;⋮\; 3.

• (x + 17) chia 5 dư 2: Vì 17 chia 5 dư 2 nên x \;⋮\; 5.

• Do đó x \;⋮\; 15.

• Bội của 15 trong khoảng (80, 100) là 90.

→ Đáp số: Số đó là 90.

Bài 20: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3, 4, 5 đều dư 1 và chia cho 7 thì không dư.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số đó là a.

• a chia cho 3, 4, 5 đều dư 1 ⇒ a - 1 \;⋮\; BCNN(3, 4, 5) = 60.

• Do đó a ∈ \{61, 121, 181, 241, 301, 361, …\}.

• Xét điều kiện a \;⋮\; 7: 301 : 7 = 43 (chia hết).

→ Đáp số: 301.

Bài 21: Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải và một chữ số vào bên trái số 45 để được số lớn nhất có 5 chữ số thoả mãn tính chất chia số đó cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 9 dư 8.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số đó là N = a45bc (a ≠ 0).

• N chia 4 dư 3, chia 5 dư 4, chia 9 dư 8 ⇒ N + 1 chia hết cho cả 4, 5, 9 ⇒ N + 1 \;⋮\; 180.

• Vì N + 1 \;⋮\; 5 và N lẻ (do N + 1 \;⋮\; 4) nên c = 9.

• N + 1 = a45(b+1)0 \;⋮\; 4 ⇒ (b + 1) chẵn ⇒ b ∈ \{1, 3, 5, 7, 9\}.

• N + 1 \;⋮\; 9 ⇒ a + 4 + 5 + b + 9 + 1 = a + b + 19 \;⋮\; 9 ⇒ a + b + 1 \;⋮\; 9.

• Để N lớn nhất, ta chọn a = 8 ⇒ 8 + b + 1 = 9 + b \;⋮\; 9 ⇒ b = 9 (thỏa mãn b lẻ).

→ Đáp số: Viết thêm chữ số 8 vào bên trái và 99 vào bên phải, được số 84599.

Bài 22: Tìm tất cả các số có hai chữ số khi chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 4.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số có 2 chữ số là x (10 ≤ x ≤ 99).

• x chia 2 dư 1, chia 3 dư 2, chia 5 dư 4 ⇒ x + 1 \;⋮\; BCNN(2, 3, 5) = 30.

• Vì 11 ≤ x + 1 ≤ 100 ⇒ x + 1 ∈ \{30, 60, 90\} ⇒ x ∈ \{29, 59, 89\}.

→ Đáp số: 29, 59, 89.

Bài 23: Tìm một số có 5 chữ số chia hết cho 25, biết rằng khi đọc các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại hoặc khi đổi chữ số hàng đơn vị với chữ số hàng trăm thì số đó không thay đổi.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số đó là abcde (a ≠ 0).

• Đọc ngược lại không đổi ⇒ a = e, b = d ⇒ abcba.

• Đổi hàng đơn vị với hàng trăm không đổi ⇒ a = c ⇒ ababa.

• Số chia hết cho 25 nên hai chữ số tận cùng ba ∈ \{25, 75\} ⇒ a = 5 và b ∈ \{2, 7\}.

→ Đáp số: 52525 hoặc 57575.

Bài 24: Tìm số abc (với c ≠ 0), biết số abc chia hết cho 45 và abc - cba = 396.

📖 Hướng dẫn giải:

• abc \;⋮\; 45 ⇒ abc \;⋮\; 5 và abc \;⋮\; 9.

• Vì c ≠ 0 nên c = 5.

• Thay c = 5: ab5 - 5ba = 396 ⇒ 99a - 495 = 396 ⇒ 99a = 891 ⇒ a = 9.

• Số là 9b5 \;⋮\; 9 ⇒ 9 + b + 5 = 14 + b \;⋮\; 9 ⇒ b = 4.

→ Đáp số: Số đó là 945.

Bài 25: Cho a là số tự nhiên có 3 chữ số. Viết các chữ số của a theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên b. Hỏi hiệu của 2 số đó có chia hết cho 3 hay không? Vì sao?

📖 Hướng dẫn giải:

• Đặt a = xyz = 100x + 10y + z và b = zyx = 100z + 10y + x.

• Hiệu a - b = (100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 99(x - z).

• Vì 99 = 3 × 33 \;⋮\; 3 nên 99(x - z) luôn chia hết cho 3.

→ Kết luận: Hiệu của hai số luôn chia hết cho 3.

Bài 26: Tìm một số tự nhiên nhỏ nhất khác 1, sao cho khi chia số đó cho 2, 3, 4, 5 và 7 đều dư 1.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số đó là N.

• N - 1 \;⋮\; BCNN(2, 3, 4, 5, 7) = 420.

• Để N nhỏ nhất khác 1 thì N - 1 = 420 ⇒ N = 421.

→ Đáp số: 421.

Bài 27: Tìm các chữ số a, b, c sao cho a7b8c9 chia hết cho 1001.

📖 Hướng dẫn giải:

• Ta có: a7b8c9 = 1001 × a7b + (8c9 - a7b).

• Để a7b8c9 \;⋮\; 1001 thì 8c9 - a7b = 0 ⇒ a7b = 8c9.

• So sánh từng hàng: a = 8, c = 7, b = 9.

→ Đáp số: a = 8, b = 9, c = 7 (số 879879).

Bài 28: Số a chia cho 4 dư 3, chia cho 9 dư 8. Hỏi a chia cho 36 dư bao nhiêu?

📖 Hướng dẫn giải:

• a chia 4 dư 3 ⇒ a + 1 \;⋮\; 4.

• a chia 9 dư 8 ⇒ a + 1 \;⋮\; 9.

• Vì ƯCLN(4, 9) = 1 nên a + 1 \;⋮\; 36.

• Do đó a chia 36 dư 36 - 1 = 35.

→ Đáp số: Dư 35.

Bài 29: Một số chia cho 11 dư 5, chia cho 12 dư 6. Hỏi số đó chia cho 132 thì dư bao nhiêu?

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số đó là n.

• n chia 11 dư 5 ⇒ n + 6 \;⋮\; 11 (vì 5 + 6 = 11).

• n chia 12 dư 6 ⇒ n + 6 \;⋮\; 12 (vì 6 + 6 = 12).

• Do đó n + 6 \;⋮\; 132 ⇒ n chia 132 dư 132 - 6 = 126.

→ Đáp số: Dư 126.

Bài 30: Số chia cho 6 dư 5, chia cho 5 dư 4. Hỏi số a chia cho 30 thì dư bao nhiêu?

📖 Hướng dẫn giải:

• a chia 6 dư 5 ⇒ a + 1 \;⋮\; 6.

• a chia 5 dư 4 ⇒ a + 1 \;⋮\; 5.

• Do đó a + 1 \;⋮\; 30 ⇒ a chia 30 dư 30 - 1 = 29.

→ Đáp số: Dư 29.

Bài 31: Hãy chứng tỏ hiệu giữa số có dạng 1ab1 và số được viết bởi các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chia hết cho 90.

📖 Hướng dẫn giải:

• 1ab1 - 1ba1 = (1000 + 100a + 10b + 1) - (1000 + 100b + 10a + 1) = 90(a - b).

• Vì 90(a - b) luôn chia hết cho 90 với mọi a, b.

→ Kết luận: Hiệu trên luôn chia hết cho 90.

Bài 32: Với các chữ số a, b, c và a > b. Hãy chứng tỏ rằng abab - baba chia hết cho 9 và 101.

📖 Hướng dẫn giải:

• abab - baba = (1010a + 101b) - (1010b + 101a) = 909(a - b).

• Vì 909 = 9 × 101 \;⋮\; 9 và \;⋮\; 101.

→ Kết luận: Hiệu trên luôn chia hết cho cả 9 và 101.

Bài 33: Biết số a được viết bởi 54 chữ số 9. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà cộng số này với a ta được số chia hết cho 45.

📖 Hướng dẫn giải:

• Số a = \underbrace{99… 9}_{54 chữ số 9} \;⋮\; 9 và chia cho 5 dư 4.

• Để (a + k) \;⋮\; 45 thì (a + k) \;⋮\; 9 và (a + k) \;⋮\; 5.

• (a + k) \;⋮\; 9 ⇒ k \;⋮\; 9.

• (a + k) \;⋮\; 5 ⇒ k có tận cùng là 1 hoặc 6.

• Số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 9 và có tận cùng là 6 là 36.

→ Đáp số: 36.

Bài 34: Tìm số có 4 chữ số, biết rằng nếu đem số đó chia cho 131 thì dư 18, chia cho 132 thì dư 3.

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số đó là N = 131 × q_1 + 18 = 132 × q_2 + 3.

• Suy ra 131 × (q_1 - q_2) + 15 = q_2.

• Với q_1 - q_2 = 0 ⇒ q_2 = 15 ⇒ N = 132 × 15 + 3 = 1983.

→ Đáp số: 1983.

Bài 35: Cho m chia cho 5 dư 2, n chia cho 5 dư 3 và p = 2003 × m + 2004 × n. Tính xem p chia cho 5 dư mấy?

📖 Hướng dẫn giải:

• 2003 × m chia 5 có cùng số dư với 3 × 2 = 6 (dư 1).

• 2004 × n chia 5 có cùng số dư với 4 × 3 = 12 (dư 2).

• Do đó p chia 5 có cùng số dư với 1 + 2 = 3.

→ Đáp số: Dư 3.

Bài 36: Chia a cho 45 dư 17. Chia a cho 15 thì thương thay đổi như thế nào?

📖 Hướng dẫn giải:

• a = 45q + 17 = 15 × (3q + 1) + 2.

→ Kết luận: Thương mới gấp 3 lần thương cũ rồi tăng thêm 1 đơn vị (và số dư mới là 2).

Bài 37: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ giấy thành 4 mảnh. Lấy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ sau đó lại lấy một số mảnh nhỏ, xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ … Khi ngừng xé, theo quy luật trên người ta đếm được 1999 mảnh lớn nhỏ cả thảy. Hỏi người ấy đếm đúng hay sai? Vì sao?

📖 Hướng dẫn giải:

• Ban đầu có 3 mảnh giấy (chia hết cho 3).

• Mỗi lần xé 1 mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh tăng thêm là 4 - 1 = 3 mảnh \;⋮\; 3.

• Do đó tổng số mảnh giấy luôn chia hết cho 3.

• Vì 1999 không chia hết cho 3 nên người ấy đếm sai.

→ Kết luận: Người ấy đếm sai.

Bài 38: Hai bạn Minh và Nhung đi mua 9 gói bánh và 6 gói kẹo. Nhung đưa cho cô bán hàng hai tờ giấy bạc loại 50000 đồng và cô trả lại 36000 đồng. Minh nói ngay: “Cô tính sai rồi!”. Bạn hãy cho biết Minh nói đúng hay sai? Giải thích tại sao? (Biết rằng giá tiền mỗi gói bánh và mỗi gói kẹo là một số nguyên đồng).

📖 Hướng dẫn giải:

• Tổng số tiền mua bánh kẹo là 2 × 50000 - 36000 = 64000 đồng.

• Vì 9 \;⋮\; 3 và 6 \;⋮\; 3 nên tổng giá tiền 9 gói bánh và 6 gói kẹo phải chia hết cho 3.

• Nhưng 64000 không chia hết cho 3.

→ Kết luận: Bạn Minh nói đúng (cô bán hàng đã tính sai).

Bài 39: Cho một tam giác ABC. Nối điểm chính giữa các cạnh của tam giác với nhau và cứ tiếp tục như vậy. Sau một số lần vẽ, bạn Minh đếm được 2003 tam giác, bạn Thông đếm được 2004 tam giác. Theo em bạn nào đếm đúng, bạn nào đếm sai?

📖 Hướng dẫn giải:

• Ban đầu có 1 tam giác. Mỗi lần nối trung điểm tạo thêm 3 tam giác.

• Tổng số tam giác luôn có dạng 1 + 3k (chia 3 dư 1).

• Vì 2003 chia 3 dư 2 và 2004 chia hết cho 3 nên cả hai bạn đều đếm sai.

→ Kết luận: Cả hai bạn đều đếm sai.

Bài 40: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là: 104, 115, 132, 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng: số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?

📖 Hướng dẫn giải:

• Tổng số quả là 104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 quả (\;⋮\; 5).

• Sau khi bán 1 rổ cam, số chanh gấp 4 lần số cam ⇒ Số quả còn lại chia hết cho 5.

• Do đó rổ cam đã bán phải có số quả chia hết cho 5 ⇒ Rổ 115 quả.

• Số quả còn lại: 635 - 115 = 520 quả.

• Số cam còn lại: 520 : 5 = 104 quả ⇒ Tổng số cam ban đầu là 115 + 104 = 219 quả.

• Tổng số chanh là: 132 + 136 + 148 = 416 quả.

→ Đáp số: 219 quả cam và 416 quả chanh.

Bài 41: Có 30 que, độ dài mỗi que theo thứ tự là: 1cm, 2cm, 3cm, …, 30cm. Độ dài mỗi que không thay đổi, hỏi có thể xếp các que đó để:

• Tổng độ dài của 30 que là 31 × 30 / 2 = 465 cm.

a) Được một hình vuông không?

• Không thể, vì 465 không chia hết cho 4.

b) Được một hình chữ nhật không?

• Không thể, vì 465 là số lẻ (không chia hết cho 2).

Bài 42: An có 6 hộp ngòi bút: hộp đựng 15 ngòi, hộp đựng 16 ngòi, hộp đựng 18 ngòi, hộp đựng 19 ngòi, hộp đựng 20 ngòi, hộp đựng 31 ngòi. An đã cho Hoà một số hộp, cho Bình một số hộp. Tổng cộng An đã cho hết 5 hộp. Tính ra số ngòi bút mà An đã cho Bình bằng 1 / 2 số bút mà An cho Hoà.

📖 Hướng dẫn giải:

• Tổng số ngòi bút: 15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 ngòi (chia 3 dư 2).

• Số ngòi cho Bình bằng 1 / 2 số ngòi cho Hoà ⇒ Tổng số ngòi đã cho chia hết cho 3 ⇒ Hộp còn lại phải có số ngòi chia cho 3 dư 2 ⇒ Hộp 20 ngòi.

• Tổng số ngòi đã cho là 119 - 20 = 99 ngòi.

• Số ngòi Bình nhận được: 99 : 3 = 33 ngòi (15 + 18 = 33).

→ Đáp số:

a) An còn lại hộp 20 ngòi.

b) Bình nhận được hộp 15 ngòi và hộp 18 ngòi.

Bài 43: Một cửa hàng có 6 hòm xà phòng gồm: hòm 18kg, hòm 19kg, hòm 21kg, hòm 22kg, hòm 23kg và hòm 34kg bán trong một ngày hết 5 hòm. Biết rằng khối lượng xà phòng bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều. Hỏi cửa hàng còn lại hòm xà phòng nào?

📖 Hướng dẫn giải:

• Tổng khối lượng 6 hòm là 137 kg (chia 3 dư 2).

• Khối lượng bán sáng gấp đôi chiều ⇒ Tổng khối lượng đã bán chia hết cho 3 ⇒ Hòm còn lại chia cho 3 dư 2 ⇒ Hòm 23kg.

→ Đáp số: Hòm 23kg.

Bài 44: Một cửa hàng bán vải có 7 tấm vải gồm 2 loại: vải hoa, vải xanh. Số vải trong mỗi tấm lần lượt là: 24m, 26m, 37m, 41m, 54m, 55m và 58m. Sau khi bán hết 6 tấm vải chỉ còn 1 tấm vải xanh. Người bán hàng thấy rằng trong số vải đã bán vải xanh gấp 3 lần vải hoa. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu mét vải?

📖 Hướng dẫn giải:

• Tổng số mét vải là 295 m (chia 4 dư 3).

• Vải xanh đã bán gấp 3 lần vải hoa ⇒ Tổng vải đã bán chia hết cho 4 ⇒ Tấm vải còn lại có số mét chia 4 dư 3 ⇒ Tấm 55m.

• Tổng số mét vải cửa hàng có là 295m.

→ Đáp số: Cửa hàng có 295m vải (và tấm còn lại là tấm 55m).

Bài 45: Hãy tìm số a, biết rằng ta thêm vào số a là 12 đơn vị rồi đem tổng tìm được chia cho 5 thì dư 2, nếu thêm vào số a là 19 đơn vị rồi đem tổng chia cho 6 thì dư 1, chia cho 7 dư 5 và số a lớn hơn 200 và nhỏ hơn 300.

📖 Hướng dẫn giải:

• (a + 12) chia 5 dư 2 ⇒ a \;⋮\; 5.

• (a + 19) chia 6 dư 1 ⇒ a \;⋮\; 6.

• (a + 19) chia 7 dư 5 ⇒ a \;⋮\; 7.

• Do đó a \;⋮\; (5 × 6 × 7 = 210).

• Vì 200 < a < 300 ⇒ a = 210.

→ Đáp số: a = 210.

Bài 46: Chứng tỏ rằng không thể thay mỗi chữ cái trong phép tính sau bằng chữ số thích hợp để được một phép tính đúng:

hochochoc + taptaptap = 1234567891

hochochoc - taptaptap = 12345671

📖 Hướng dẫn giải:

• Ta có hochochoc = hoc × 1001001 \;⋮\; 3 và taptaptap = tap × 1001001 \;⋮\; 3.

• Do đó tổng và hiệu của hai số này đều phải chia hết cho 3.

• Nhưng 1234567891 (tổng chữ số 46) và 12345671 (tổng chữ số 29) đều không chia hết cho 3.

→ Kết luận: Không thể thay thế để được phép tính đúng.

Bài 47: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM …

• Nhóm chữ `TOQUOCVIETNAM` có 13 chữ cái.

a) Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì?

• 1996 : 13 = 153 dư 7 ⇒ Chữ thứ 7 là chữ V.

b) Có 50 chữ T thì có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I?

• Mỗi nhóm có 2 chữ T, 2 chữ O, 1 chữ I.

• 50 chữ T ứng với 25 nhóm ⇒ 50 chữ O và 25 chữ I.

c) Đếm được 2007 chữ O là đúng hay sai?

• 2007 = 2 × 1003 + 1 ⇒ Có thể đúng khi dãy dừng ở chữ O thứ nhất của nhóm thứ 1004.

d) Tô màu theo thứ tự: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng. Chữ thứ 2007 tô màu gì?

• 2007 : 4 = 501 dư 3 ⇒ Màu thứ 3 là màu Tím.

Bài 48: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dãy CHAMHOCCHAMLAM CHAMHOCCHAMLAM …

• Nhóm chữ `CHAMHOCCHAMLAM` có 14 chữ cái.

a) Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?

• 1000 : 14 = 71 dư 6 ⇒ Chữ thứ 6 là chữ O.

b) Đếm được 1200 chữ H thì có bao nhiêu chữ A?

• Mỗi nhóm có 3 chữ H và 3 chữ A ⇒ Có 1200 chữ A.

c) Đếm được 2008 chữ C là đúng hay sai?

• 2008 = 3 × 669 + 1 ⇒ Đúng (khi dãy dừng ở chữ C đầu tiên của nhóm thứ 670).

Bài 49: Vĩnh nghĩ ra 2 số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9. Tổng 2 số đó là một số có đặc điểm: có 3 chữ số, chia hết cho 5, tổng chữ số hàng trăm và đơn vị chia hết cho 9, tổng chữ số hàng trăm và chục chia hết cho 4.

📖 Hướng dẫn giải:

• Tổng là số lẻ S = abc \;⋮\; 5 ⇒ c = 5.

• a + 5 \;⋮\; 9 ⇒ a = 4.

• 4 + b \;⋮\; 4 ⇒ b ∈ \{0, 4, 8\} ⇒ S ∈ \{405, 445, 485\}.

• Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 485 là 242 và 243 (trong đó 243 \;⋮\; 9).

→ Đáp số: Hai số đó là 242 và 243.

Bài 50: Một bác nông dân có tổng số gà và vịt không quá 80 con. Biết số gà gấp 5 lần số vịt. Nếu bác nông dân mua thêm 3 con vịt thì số gà sẽ gấp 4 lần số vịt. Hỏi bác nông dân có bao nhiêu con gà và vịt?

📖 Hướng dẫn giải:

• Gọi số vịt là v, số gà là 5v.

• 5v = 4 × (v + 3) ⇒ 5v = 4v + 12 ⇒ v = 12.

• Số gà là 5 × 12 = 60 con.

→ Đáp số: 60 con gà và 12 con vịt.

Bài 51: Trên bàn cô giáo có 5 chồng sách (17, 11, 12, 26, 14 quyển). Lấy đi 1 chồng thì số sách Toán gấp 3 lần sách Tiếng Việt trong 4 chồng còn lại. Hỏi có bao nhiêu sách mỗi loại trong các chồng còn lại?

📖 Hướng dẫn giải:

• Tổng 5 chồng = 80 quyển (\;⋮\; 4).

• Số sách còn lại gồm 4 phần ⇒ Chồng lấy đi chia hết cho 4 ⇒ Chồng 12 quyển.

• 4 chồng còn lại có 80 - 12 = 68 quyển.

• Sách Tiếng Việt: 68 : 4 = 17 quyển (chồng 17).

• Sách Toán: 68 - 17 = 51 quyển (gồm 3 chồng 11, 26, 14).

→ Đáp số: 51 quyển sách Toán và 17 quyển sách Tiếng Việt.

Bài 52: Số nào phù hợp với các điều kiện: không phải số lẻ, nhỏ hơn 90, chia cho 3 dư 1, có hai chữ số giống nhau?

📖 Hướng dẫn giải:

• Các số chẵn có 2 chữ số giống nhau < 90: 22, 44, 66, 88.

• Chia 3 dư 1: 22 và 88.

→ Đáp số: 22 hoặc 88.

Bài 53: Tìm số thoả mãn: có 4 chữ số, nhỏ nhất, cùng chia hết cho 2 và 5, tổng các chữ số bằng 18.

📖 Hướng dẫn giải:

• Số có dạng abc0 (a + b + c = 18).

• Để nhỏ nhất, chọn a = 1 ⇒ b + c = 17 ⇒ b = 8, c = 9.

→ Đáp số: 1890.

Bài 54: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu số:

a) Chia hết cho 2: (100 - 2) : 2 + 1 = 50 số ⇒ 50 số.

b) Không chia hết cho 2: 100 - 50 = 50 số ⇒ 50 số.

Bài 55: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu số:

a) Chia hết cho 5: (100 - 5) : 5 + 1 = 20 số ⇒ 20 số.

b) Không chia hết cho 5: 100 - 20 = 80 số ⇒ 80 số.

Bài 56: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu số:

a) Chia hết cho 3: (99 - 3) : 3 + 1 = 33 số ⇒ 33 số.

b) Không chia hết cho 3: 100 - 33 = 67 số ⇒ 67 số.

Bài 57: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu số:

a) Chia hết cho 9: (99 - 9) : 9 + 1 = 11 số ⇒ 11 số.

b) Không chia hết cho 9: 100 - 11 = 89 số ⇒ 89 số.