Tổng hợp kiến thức Toán học: Các bài toán dùng chữ thay số (Cấu tạo số) & Tuyển tập 45 bài tập tự luyện

1. Sử dụng cấu tạo thập phân của số

1.1. Phân tích làm rõ chữ số:

• ab = a × 10 + b
• abc = a × 100 + b × 10 + c
• abcd = a × 1000 + b × 100 + c × 10 + d

Ví dụ mẫu: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị.

Giải: Gọi số là ab (a > 0; a, b < 10). Theo đề bài: ab = a + b + a × b ⇒ a × 10 + b = a + b + a × b ⇒ a × 10 = a + a × b ⇒ a × 10 = a × (1 + b) ⇒ 10 = 1 + b ⇒ b = 9. Đáp số: 9.

1.2. Phân tích làm rõ số (tách nhóm):

• ab = a0 + b = a × 10 + b
• abc = a00 + bc = a × 100 + bc = ab0 + c = ab × 10 + c
• abcd = a000 + bcd = ab00 + cd = abc0 + d

Ví dụ mẫu: Tìm một số có 2 chữ số, biết khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta được số mới gấp 31 lần số cần tìm.

Giải: Gọi số cần tìm là ab. Khi viết 21 vào bên trái ta được 21ab. Ta có: 21ab = 31 × ab ⇒ 2100 + ab = 31 × ab ⇒ 2100 = 30 × ab ⇒ ab = 2100 : 30 = 70. Đáp số: 70.

2. Sử dụng tính chất chẵn lẻ và chữ số tận cùng

• Số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn; tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 là số lẻ.
• Tổng (hiệu) 2 số cùng tính chẵn lẻ là số chẵn; khác tính chẵn lẻ là số lẻ.
• Tổng của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn là một số lẻ.
• Tích có ít nhất một thừa số chẵn là số chẵn; tích các số lẻ là số lẻ.
• Tích a × a (số chính phương) không thể có tận cùng là 2, 3, 7 hoặc 8.

Ví dụ mẫu: Tìm số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ số hàng đơn vị của nó.

Giải: Ta có ab = 6 × b. Vì 6 × b chẵn và có tận cùng là b nên b ∈ {2, 4, 6, 8}. Thử chọn: b = 2 ⇒ ab = 12; b = 4 ⇒ ab = 24; b = 6 ⇒ ab = 36; b = 8 ⇒ ab = 48. Đáp số: 12, 24, 36, 48.

3. Sử dụng kỹ thuật tính khi thực hiện phép tính

Trong phép cộng, nếu cộng 2 chữ số cùng một hàng thì nhớ nhiều nhất là 1, cộng 3 chữ số thì nhớ nhiều nhất là 2...

Ví dụ 1: Tìm số abc biết: abc = ab + bc + ca.

Giải: a × 100 + b × 10 + c = 11 × a + 11 × b + 11 × c ⇒ 89 × a = b + 10 × c = cb. Vì cb ≤ 99 nên a = 1 ⇒ cb = 89 ⇒ c = 8, b = 9. Vậy số cần tìm là 198.

Ví dụ 2: Tìm số có 4 chữ số, biết nếu xóa đi 2 chữ số ở hàng đơn vị và chục thì số đó giảm đi 1188 đơn vị.

Giải: Ta có: abcd = 1188 + ab. Vì ab chỉ có 2 chữ số nên 1188 + ab chỉ có thể mang nhớ 1 sang hàng trăm, nên ab chỉ có thể là 11 hoặc 12. Thử lại được 2 số: 1199 và 1200.

4. Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (Phương pháp chặn)

• Tổng các chữ số của số có 2 chữ số tối đa là 18; có 3 chữ số tối đa là 27; 4 chữ số là 36.
• Trong phép chia có dư: Số chia luôn lớn hơn số dư (Số chia > Số dư).

Ví dụ mẫu: Tìm số có 2 chữ số, biết nếu lấy số đó chia cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 6 và dư 5.

Giải: ab = 6 × b + 5. Vì số chia b > 5 nên 5 < b ≤ 9. Mặt khác 10 × a + b = 6 × b + 5 ⇒ 10 × a = 5 × b + 5 ⇒ 2 × a = b + 1. Vì 2 × a chẵn nên b + 1 chẵn ⇒ b lẻ ⇒ b ∈ {7, 9}. Với b = 7 ⇒ a = 4 (số 47); với b = 9 ⇒ a = 5 (số 59). Đáp số: 47 và 59.

5 & 6. Mối quan hệ giữa các chữ số & Phối hợp nhiều phương pháp

Biểu diễn các chữ số theo cùng một ẩn trung gian, kết hợp tính chất chia hết, tính chẵn lẻ và phân tích cấu tạo số để tìm nghiệm duy nhất.

Ví dụ mẫu: Tìm số có 3 chữ số, biết số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 555.

Giải: abc + a + b + c = 555. Ta có a = 5 vì nếu a < 5 thì tổng < 500, nếu a > 5 thì tổng > 600. Thay a = 5: 500 + bc + 5 + b + c = 555 ⇒ 11 × b + 2 × c = 50. Vì 2 × c chẵn và 50 chẵn nên b chẵn. Chặn giá trị: b = 4 ⇒ 2 × c = 6 ⇒ c = 3. Số cần tìm là 543.

Chủ đề 1: Thêm chữ số vào bên trái, bên phải (Bài 1 – Bài 7)

• Bài 1: Tìm số có 2 chữ số, biết khi viết thêm chữ số 4 vào bên trái số đó ta được số gấp 9 lần số phải tìm. (→ Đáp số: 50)
• Bài 2: Tìm số có 2 chữ số, khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta được số gấp 13 lần số phải tìm. (→ Đáp số: 75)
• Bài 3: Tìm số có 3 chữ số, biết khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số hơn số phải tìm 1112 đơn vị. (→ Đáp số: 123)
• Bài 4: Tìm số có 2 chữ số, biết khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số hơn số phải tìm 230 đơn vị. (→ Đáp số: 25)
• Bài 5: Cho số có 2 chữ số. Nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng trước và đằng sau số đó thì số đó tăng lên 21 lần. Tìm số đã cho. (→ Đáp số: 95)
• Bài 6: Tìm số có 4 chữ số, biết khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số lớn gấp 5 lần số nhận được khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó. (→ Đáp số: 1025)
• Bài 7: Cho số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải, viết thêm chữ số 2 vào bên trái ta đều được số có 4 chữ số mà số này gấp 3 lần số kia. (→ Đáp số: 285 hoặc 857)

Chủ đề 2: Xóa bớt chữ số, xen thêm chữ số vào giữa (Bài 8 – Bài 15)

• Bài 8: Cho số có 3 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 3 lần. Tìm số đó. (→ Đáp số: 150)
• Bài 9: Tìm số có 4 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng nghìn thì số đó giảm đi 9 lần. (→ Đáp số: 1125, 2250, 3375, 4500, 5625, 6750, 7875)
• Bài 10: Tìm số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và chục ta được số gấp 7 lần số đó. (→ Đáp số: 108 hoặc 150)
• Bài 11: Tìm số có 3 chữ số, biết nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và chục ta được số gấp 6 lần số cần tìm. (→ Đáp số: 150 hoặc 450)
• Bài 12: Cho số có 2 chữ số, nếu xen giữa 2 chữ số chính số đó ta được số có 4 chữ số gấp 99 lần số đã cho. (→ Đáp số: 45)
• Bài 13: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa 2 chữ số ta được số gấp 10 lần số ban đầu, nếu viết thêm 1 vào bên trái số vừa nhận được thì tăng lên 3 lần. (→ Đáp số: 50)
• Bài 14: Tìm số có 4 chữ số, biết nếu xoá đi hàng chục và đơn vị thì số đó giảm đi 1188 đơn vị. (→ Đáp số: 1199 và 1200)
• Bài 15: Tìm số có 4 chữ số, biết nếu xoá đi hàng chục và đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. (→ Đáp số: 4500)

Chủ đề 3: Đổi vị trí chữ số, đọc xuôi ngược, bài toán lịch sử (Bài 16 – Bài 25)

• Bài 16: Có 2 miếng bìa ghi 2 số có 2 chữ số, hiệu 2 số là 25. Ghép 2 miếng bìa được số có 4 chữ số. Tổng các số ghép được chia 101 được thương 71. Tìm 2 số trên bìa. (→ Đáp số: 48 và 23)
• Bài 17: Cho 2 số có 2 chữ số tổng bằng 35. Ghép số lớn bên trái số nhỏ rồi ghép ngược lại được 2 số có 4 chữ số hiệu là 1485. Tìm 2 số. (→ Đáp số: 25 và 10)
• Bài 18: Cho số có 4 chữ số có tận cùng là 8. Nếu chuyển chữ số 8 lên đầu thì được số mới hơn số cũ 4059 đơn vị. Tìm số đó. (→ Đáp số: 4368)
• Bài 19: Tìm số có 6 chữ số tận cùng là 4, biết chuyển chữ số 4 từ cuối lên đầu được số mới gấp 4 lần số cũ. (→ Đáp số: 102564)
• Bài 20: Tìm số có 6 chữ số, biết chuyển chữ số hàng cao nhất xuống thấp nhất được số mới gấp 3 lần số cũ. (→ Đáp số: 142857 hoặc 285714)
• Bài 21: Cho số có 3 chữ số. Chuyển chữ số hàng trăm xuống hàng đơn vị được số mới bằng 3/4 số đã cho. Tìm số đó. (→ Đáp số: 432 hoặc 864)
• Bài 22: Tìm số có 2 chữ số. Nếu đổi vị trí các chữ số cho nhau rồi chia cho số đã cho thì được thương là 3 dư 13. (→ Đáp số: 19 hoặc 29)
• Bài 23: Tìm số có 4 chữ số đọc xuôi ngược như nhau, tổng các chữ số bằng 24, số gồm 2 chữ số bên trái lớn hơn 2 chữ số bên phải 36 đơn vị. (→ Đáp số: 6666)
• Bài 24: Năm sinh của 2 danh nhân Vũ Hữu và Lương Thế Vinh là số có 4 chữ số đọc xuôi ngược không đổi, tổng các chữ số bằng 10. Tìm năm sinh. (→ Đáp số: 1441)
• Bài 25: Hai năm sự kiện lịch sử thế kỷ 20 chỉ khác nhau hàng chục và đơn vị, tổng chữ số bằng 19, tăng hàng chục thêm 3 thì gấp đôi hàng đơn vị. Tìm 2 năm đó. (→ Đáp số: 1945 và 1954)

Chủ đề 4: Quan hệ tổng, hiệu, tích các chữ số & phép chia có dư (Bài 26 – Bài 35)

• Bài 26: Tìm số có 2 chữ số, biết số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. (→ Đáp số: 45)
• Bài 27: Tìm số có 3 chữ số, biết số đó gấp 11 lần tổng các chữ số của nó. (→ Đáp số: 198)
• Bài 28: Tìm số có 2 chữ số, biết số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị. (→ Đáp số: 42 hoặc 84)
• Bài 29: Tìm số có 2 chữ số, biết số đó gấp 21 lần tích các chữ số của nó. (→ Đáp số: Không có số thỏa mãn)
• Bài 30: Tìm số có 2 chữ số, biết số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. (→ Đáp số: 15, 35)
• Bài 31: Cho số có 2 chữ số chia cho tổng các chữ số được thương 5 dư 12. Tìm số đó. (→ Đáp số: 92)
• Bài 32: Cho số có 2 chữ số chia cho hiệu các chữ số được thương 28 dư 1. Tìm số đó. (→ Đáp số: 85)
• Bài 33: Cho số có 2 chữ số chia cho hiệu hàng chục và đơn vị được thương 26 dư 1. Tìm số đó. (→ Đáp số: 79)
• Bài 34: Cho số có 2 chữ số, hàng chục chia hết cho hàng đơn vị. Chia số đó cho thương của 2 chữ số được thương 20 dư 2. Tìm số đó. (→ Đáp số: 42, 62, 82)
• Bài 35: Cho số có 2 chữ số chia cho tích các chữ số được thương 5 dư 2, hàng chục gấp 3 lần hàng đơn vị. Tìm số đó. (→ Đáp số: 31, 62, 93)

Chủ đề 5: Phép tính chữ thay số & bài toán cấu tạo số tổng hợp (Bài 36 – Bài 45)

• Bài 36: Tìm số có 4 chữ số, biết số đó cộng với số tạo bởi hàng nghìn - trăm và số tạo bởi hàng chục - đơn vị bằng 7968. (→ Đáp số: 7890)
• Bài 37: Tìm 2 số, biết số lớn gấp 4 lần số nhỏ, bớt 2 đơn vị ở số lớn và thêm 2 đơn vị ở số nhỏ thì được 2 số tròn chục. (→ Đáp số: 72 và 18)
• Bài 38: Cho số có 2 chữ số, hàng chục gấp 3 lần hàng đơn vị, đổi vị trí thì số giảm 54 đơn vị. Tìm số đó. (→ Đáp số: 93)
• Bài 39: Cho số có 2 chữ số, hàng chục bằng 1/3 hàng đơn vị, đổi vị trí tăng 36 đơn vị. Tìm số đó. (→ Đáp số: 26)
• Bài 40: Cho số có 4 chữ số: Hàng trăm gấp đôi hàng nghìn, hàng chục lớn hơn hàng nghìn nhưng nhỏ hơn hàng trăm, hàng đơn vị bằng tổng 3 hàng trên. Tìm số đó. (→ Đáp số: 1236 hoặc 2439)
• Bài 41: Tìm số có 4 chữ số có tích 2 chữ số ngoài cùng bằng 40, tích 2 chữ số giữa bằng 18, hiệu chữ số hàng nghìn và chục bằng hiệu chữ số hàng đơn vị và trăm. (→ Đáp số: 5298 hoặc 8365)
• Bài 42: Tìm số chẵn có 4 chữ số, biết số tạo bởi hàng trăm và chục gấp 4 lần hàng đơn vị và gấp 3 lần hàng nghìn. (→ Đáp số: 8246 hoặc 4124)
• Bài 43: Tìm các số ẩn trong biểu thức:
  • a) Tìm abc biết: abcd - abc × 2 = ac ⇒ abc = 125
  • b) Tìm abc biết: a + ab + abc = bcb ⇒ abc = 198
  • c) Tìm abcd biết: abc + ab + a + d = 4321 ⇒ abcd = 3891
  • d) Tìm abcd biết: abcd - abc - ab - a = 2086 ⇒ abcd = 2333
• Bài 44: Tìm abcd biết: (ab × c + d) × d = 1977. (→ Đáp số: 6533)
• Bài 45: Cho số có 5 chữ số có tổng bằng 5: Hàng vạn bằng số chữ số 0, hàng nghìn bằng số chữ số 1, hàng trăm bằng số chữ số 2, hàng chục bằng số chữ số 3, hàng đơn vị bằng số chữ số 4. (→ Đáp số: 21200)