Lời giải chi tiết 28 bài tập Dãy số Toán tiểu học: Phương pháp & Đáp án chuẩn

Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:

• a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, …
  Quy luật: Kể từ số hạng thứ 3, mỗi số hạng bằng tổng của 2 số hạng đứng liền trước nó (1 + 3 = 4; 3 + 4 = 7; 4 + 7 = 11; 7 + 11 = 18).
  3 số hạng tiếp theo là: 11 + 18 = 29; 18 + 29 = 47; 29 + 47 = 76.
  → Đáp số: 29, 47, 76
• d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, …
  Quy luật: Dãy số cách đều, mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng thêm 3.
  3 số hạng tiếp theo là: 16 + 3 = 19; 19 + 3 = 22; 22 + 3 = 25.
  → Đáp số: 19, 22, 25
• b) 0, 3, 7, 12, …
  Quy luật: Hiệu giữa hai số liền nhau tăng dần từ 3, 4, 5, 6, 7, 8… (0 + 3 = 3; 3 + 4 = 7; 7 + 5 = 12).
  3 số hạng tiếp theo là: 12 + 6 = 18; 18 + 7 = 25; 25 + 8 = 33.
  → Đáp số: 18, 25, 33
• e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, …
  Quy luật: Kể từ số hạng thứ 4, mỗi số hạng bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó (0 + 2 + 4 = 6; 2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 12 = 22).
  3 số hạng tiếp theo là: 6 + 12 + 22 = 40; 12 + 22 + 40 = 74; 22 + 40 + 74 = 136.
  → Đáp số: 40, 74, 136
• c) 1, 2, 6, 24, …
  Quy luật: Mỗi số hạng bằng số đứng trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy (1 × 2 = 2; 2 × 3 = 6; 6 × 4 = 24).
  3 số hạng tiếp theo là: 24 × 5 = 120; 120 × 6 = 720; 720 × 7 = 5040.
  → Đáp số: 120, 720, 5040
• g) 1, 1, 3, 5, 17, …
  Quy luật: Kể từ số thứ 3, mỗi số bằng tích của 2 số liền trước cộng thêm 2 (1 × 1 + 2 = 3; 1 × 3 + 2 = 5; 3 × 5 + 2 = 17).
  3 số hạng tiếp theo là: 5 × 17 + 2 = 87; 17 × 87 + 2 = 1481; 87 × 1481 + 2 = 128849.
  → Đáp số: 87, 1481, 128849

Bài 2: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:

• a) 10, 13, 18, 26, … → Dãy hiệu số Fibonacci (+3, +5, +8, +13, +21). Tiếp theo: 26 + 13 = 39; 39 + 21 = 60. → Đáp số: 39, 60
• k) 1, 3, 3, 9, 27, … → Số sau bằng tích 2 số trước. Tiếp theo: 9 × 27 = 243; 27 × 243 = 6561. → Đáp số: 243, 6561
• b) 0, 1, 2, 4, 7, 12, … → Số sau bằng tổng 2 số trước cộng 1. Tiếp theo: 7 + 12 + 1 = 20; 12 + 20 + 1 = 33. → Đáp số: 20, 33
• l) 1, 2, 3, 6, 12, 24, … → Số sau gấp đôi số liền trước (hoặc tổng tất cả số trước). Tiếp theo: 24 × 2 = 48; 48 × 2 = 96. → Đáp số: 48, 96
• c) 0, 1, 4, 9, 18, … → Số sau bằng tổng tất cả các số trước nó cộng 4. Tiếp theo: (0+1+4+9+18)+4 = 36; (0+1+4+9+18+36)+4 = 72. → Đáp số: 36, 72
• m) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … → Dãy số chính phương (1×1, 2×2, 3×3…). Tiếp theo: 7 × 7 = 49; 8 × 8 = 64. → Đáp số: 49, 64
• d) 5, 6, 8, 10, … → Khoảng cách tăng dần theo cặp (+1, +2, +2, +3, +3). Tiếp theo: 10 + 3 = 13; 13 + 3 = 16. → Đáp số: 13, 16
• o) 2, 12, 30, 56, 90, … → Tích 2 số tự nhiên liên tiếp với thừa số lẻ tăng (1×2, 3×4, 5×6, 7×8, 9×10). Tiếp theo: 11 × 12 = 132; 13 × 14 = 182. → Đáp số: 132, 182
• e) 1, 6, 54, 648, … → Nhân thừa số tăng cách đều 3 (×6, ×9, ×12, ×15, ×18). Tiếp theo: 648 × 15 = 9720; 9720 × 18 = 174960. → Đáp số: 9720, 174960
• p) 1, 3, 9, 27, … → Mỗi số gấp 3 lần số liền trước. Tiếp theo: 27 × 3 = 81; 81 × 3 = 243. → Đáp số: 81, 243
• g) 1, 5, 14, 33, 72, … → Số sau = Số trước × 2 + số thứ tự tăng dần (+3, +4, +5, +6, +7). Tiếp theo: 72 × 2 + 7 = 151; 151 × 2 + 8 = 310. → Đáp số: 151, 310
• q) 2, 6, 12, 20, 30, … → Tích 2 số liên tiếp (1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6). Tiếp theo: 6 × 7 = 42; 7 × 8 = 56. → Đáp số: 42, 56
• h) 2, 20, 56, 110, 182, … → Tích dạng (3k-2)×(3k-1): 1×2, 4×5, 7×8, 10×11, 13×14. Tiếp theo: 16 × 17 = 272; 19 × 20 = 380. → Đáp số: 272, 380
• t) 6, 24, 60, 120, 210, … → Tích 3 số tự nhiên liên tiếp n×(n+1)×(n+2). Tiếp theo: 6 × 7 × 8 = 336; 7 × 8 × 9 = 504. → Đáp số: 336, 504

Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của dãy sau, biết mỗi dãy có 10 số hạng:

a) …, 17, 19, 21
Giải: Dãy số lẻ cách đều 2 đơn vị. Dãy có 10 số hạng nên có 9 khoảng cách. Số đầu tiên là: 21 - 9 × 2 = 3.
→ Đáp số: 3 (Dãy là: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21)

b) …, 64, 81, 100
Giải: Các số hạng là số chính phương: 64 = 8×8 (số thứ 8), 81 = 9×9 (số thứ 9), 100 = 10×10 (số thứ 10). Số hạng đầu tiên (số thứ 1) là: 1 × 1 = 1.
→ Đáp số: 1

Bài 4: Tìm 2 số hạng đầu của các dãy số, trong mỗi dãy có 15 số hạng:

a) …, 39, 42, 45 → Dãy cách đều 3 đơn vị, số thứ 15 là 45. Số thứ 1: 45 - 14 × 3 = 3; Số thứ 2: 3 + 3 = 6. → Đáp số: 3 và 6

b) …, 4, 2, 0 → Dãy chẵn giảm dần cách đều 2 đơn vị, số thứ 15 là 0. Số thứ 1: 0 + 14 × 2 = 28; Số thứ 2: 28 - 2 = 26. → Đáp số: 28 và 26

c) …, 23, 25, 27, 29 → Dãy lẻ cách đều 2 đơn vị, số thứ 15 là 29. Số thứ 1: 29 - 14 × 2 = 1; Số thứ 2: 1 + 2 = 3. → Đáp số: 1 và 3

Bài 5: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10, …, 31, 34, …

a) Tìm số hạng thứ 100 trong dãy:
Dãy cách đều có số đầu là 1, khoảng cách d = 3. Số thứ 100 là: 1 + (100 - 1) × 3 = 298. → Đáp số: 298

b) Số 2002 có thuộc dãy này không?
Các số trong dãy chia cho 3 đều dư 1. Xét 2002: 2002 = 3 × 667 + 1 (chia 3 dư 1). Vì 2002 > 1 và chia 3 dư 1 nên số 2002 thuộc dãy (ở vị trí: (2002 - 1) : 3 + 1 = 668). → Đáp số: Có thuộc dãy (vị trí 668)

Bài 6: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153, …

Quy luật: Số thứ n = 3 + 15 × [(n - 1) × n : 2].
a) Số hạng thứ 100 của dãy: a₁₀₀ = 3 + 15 × (99 × 100 : 2) = 3 + 15 × 4950 = 74253. → Đáp số: 74253
b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu? Ta có: 3 + 15 × [(n - 1) × n : 2] = 11703 ⇒ (n - 1) × n = 1560 = 39 × 40 ⇒ n = 40. → Đáp số: Số thứ 40

Bài 7: Cho dãy số: 1,1; 2,2; 3,3; …; 108,9; 110,0

a) Dãy có bao nhiêu số hạng? (110,0 - 1,1) : 1,1 + 1 = 108,9 : 1,1 + 1 = 100 số hạng.
b) Số hạng thứ 50 của dãy: 1,1 + (50 - 1) × 1,1 = 1,1 × 50 = 55. → Đáp số: a) 100 số hạng; b) 55

Bài 8: Kiểm tra số thuộc dãy

a) Số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, … không?
- Số 50: Chia hết cho 5 nhưng nhỏ hơn số bắt đầu (50 < 90) → Không thuộc.
- Số 133: Không chia hết cho 5 (tận cùng là 3) → Không thuộc.

b) Số 1996 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11, … không?
Dãy gồm các số chia 3 dư 2. Số 1996 chia 3 dư 1 (1996 = 3 × 665 + 1) → Không thuộc dãy.

c) Số nào trong 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, …?
Dãy có dạng 3 × 2^k. Khi chia cho 3 phải được lũy thừa của 2: 666:3 = 222 (không phải lũy thừa 2); 1000 không chia hết cho 3; 9999:3 = 3333 (số lẻ). → Không có số nào thuộc dãy.

Bài 9: Cho dãy 1, 7, 13, 19, 25, … Kiểm tra 351, 400, 570, 686, 1975

Quy luật: Các số trong dãy chia cho 6 đều dư 1.
- 351 chia 6 dư 3 (không thuộc); 400 chia 6 dư 4 (không thuộc); 570 chia 6 dư 0 (không thuộc); 686 chia 6 dư 2 (không thuộc).
- 1975 chia 6 dư 1 (1975 = 6 × 329 + 1) → 1975 thuộc dãy (vị trí: (1975 - 1) : 6 + 1 = 330).
→ Đáp số: Chỉ có số 1975 thuộc dãy.

Bài 10: Dãy số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, 4, …, 1999 có bao nhiêu số hạng?

Số số hạng: (1999 - 1) : 1 + 1 = 1999 số hạng. → Đáp số: 1999 số hạng

Bài 11: Cho dãy số chẵn 2, 4, 6, 8, 10, …, 2468

a) Số số hạng: (2468 - 2) : 2 + 1 = 1234 số hạng.
b) Số chữ số:
- Từ 2 đến 8 (1 chữ số): 4 số × 1 = 4 chữ số.
- Từ 10 đến 98 (2 chữ số): 45 số × 2 = 90 chữ số.
- Từ 100 đến 998 (3 chữ số): 450 số × 3 = 1350 chữ số.
- Từ 1000 đến 2468 (4 chữ số): 735 số × 4 = 2940 chữ số.
Tổng số chữ số: 4 + 90 + 1350 + 2940 = 4384 chữ số. → Đáp số: a) 1234; b) 4384

Bài 12: Cho dãy số 1, 5, 9, 13, …, 2005

a) Số số hạng: (2005 - 1) : 4 + 1 = 502 số hạng.
b) Số chữ số: Nhóm 1 chữ số (3 số) = 3; Nhóm 2 chữ số (22 số) = 44; Nhóm 3 chữ số (225 số) = 675; Nhóm 4 chữ số (252 số) = 1008.
Tổng số chữ số: 3 + 44 + 675 + 1008 = 1730 chữ số. → Đáp số: a) 502; b) 1730

Bài 13: Tính tổng của các dãy số sau:

a) 4, 9, 14, 19, 24, …, 999: Số số hạng: (999 - 4) : 5 + 1 = 200. Tổng = (999 + 4) × 200 : 2 = 100300.
b) 1, 5, 9, 13, 17, … (80 số hạng): Số thứ 80: 1 + 79 × 4 = 317. Tổng = (317 + 1) × 80 : 2 = 12720.
c) …, 17, 27, 44, 71, 115 (8 số hạng): Dãy số Fibonacci suy ngược: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115. Tổng = 294.
→ Đáp số: a) 100300; b) 12720; c) 294

Bài 14: Tính nhanh:

a) Tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 1995: Dãy có (1995 - 1) : 2 + 1 = 998 số. Tổng = (1995 + 1) × 998 : 2 = 996004.
b) Tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên: Từ 0 đến 99: (99 + 0) × 100 : 2 = 4950. (Từ 1 đến 100 là 5050).
→ Đáp số: a) 996004; b) 4950

Bài 15: Tính nhanh biểu thức thập phân:

a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + … + 13,27 + 14,77: Dãy cách đều 1,5 gồm 10 số. Tổng = (14,77 + 1,27) × 10 : 2 = 80,2.
b) 0,1 + 0,2 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + … + 0,19: Nhóm 1 (0,1 đến 0,9) = 4,5; Nhóm 2 (0,10 đến 0,19) = 1,45. Tổng = 4,5 + 1,45 = 5,95.
c) 10,11 + 11,12 + 12,13 + … + 98,99 + 99,100: Phần nguyên = 4905; Phần thập phân = 49,05. Tổng = 4905 + 49,05 = 4954,05.
→ Đáp số: a) 80,2; b) 5,95; c) 4954,05

Bài 16 – 19: Bài toán đánh số trang sách và số báo danh:

Bài 16: Đánh số trang sách dày 220 trang cần: 9 (1 chữ số) + 180 (2 chữ số) + 121 × 3 (3 chữ số) = 552 chữ số. → Đáp số: 552

Bài 17: Đánh SBD cho 327 thí sinh cần: 9 + 180 + (327 - 100 + 1) × 3 = 9 + 180 + 684 = 873 chữ số. → Đáp số: 873

Bài 18: SGK Toán 4 dùng 216 chữ số. Trang 1-99 dùng 189 chữ số. Số trang 3 chữ số: (216 - 189) : 3 = 9 trang. Sách dày: 99 + 9 = 108 trang. → Đáp số: 108 trang

Bài 19: Kỳ thi HSG dùng 516 chữ số. Thí sinh có 3 chữ số: (516 - 189) : 3 = 109 thí sinh. Tổng số thí sinh: 99 + 109 = 208 thí sinh. → Đáp số: 208 thí sinh

Bài 20 – 22: Đếm chữ số và tính tổng chữ số:

Bài 20: Tính tổng các chữ số từ 1 đến 1983 viết liền:
- Tổng chữ số 000 đến 999 = 300 × 45 = 13500.
- Tổng chữ số 1000 đến 1979 = 980 (hàng nghìn) + 13060 (3 hàng cuối) = 14040.
- Tổng chữ số từ 1980 đến 1983 = 18 + 19 + 20 + 21 = 78.
Tổng tất cả các chữ số: 13500 + 14040 + 78 = 27618. → Đáp số: 27618

Bài 21: Từ 1 đến 1995 có:
a) Chữ số 1: 200 (hàng đơn vị) + 200 (hàng chục) + 200 (hàng trăm) + 996 (hàng nghìn) = 1596 chữ số 1.
b) Chữ số 5: 200 (hàng đơn vị) + 200 (hàng chục) + 200 (hàng trăm) = 600 chữ số 5.
→ Đáp số: a) 1596 chữ số 1; b) 600 chữ số 5

Bài 22: Viết từ 1 đến 500 dùng bao nhiêu chữ số 5?
50 (hàng đơn vị) + 50 (hàng chục) + 1 (hàng trăm của số 500) = 101 chữ số 5. → Đáp số: 101

Bài 23 – 26: Tìm x trong các dãy số:

Bài 23: Dãy 1, 2, 3, …, x:
a) Dãy có 1989 chữ số ⇒ Số các số có 3 chữ số: (1989 - 189) : 3 = 600 số ⇒ x = 100 + 600 - 1 = 699.
b) Số chữ số gấp 2 lần số số hạng ⇒ Cần bù 9 chữ số thiếu ⇒ 9 số có 3 chữ số ⇒ x = 100 + 9 - 1 = 108.
c) Số chữ số gấp 3 lần số số hạng ⇒ Cần bù 108 chữ số thiếu ⇒ 108 số có 4 chữ số ⇒ x = 1000 + 108 - 1 = 1107.
→ Đáp số: a) x = 699; b) x = 108; c) x = 1107

Bài 24: Dãy 10, 11, 12, …, x có tổng bằng 5106 ⇒ (x + 10) × (x - 9) = 10212 = 111 × 92 ⇒ x - 9 = 92 ⇒ x = 101. → Đáp số: x = 101

Bài 25: Dãy chẵn 0, 2, 4, 6, 8, …, x có số chữ số gấp 2 lần số số hạng ⇒ Cần 5 số chẵn có 3 chữ số đầu tiên (100, 102, 104, 106, 108) ⇒ x = 108. → Đáp số: x = 108

Bài 26: Dãy 0, 1, 2, 3, …, x có số chữ số gấp 3 lần số số hạng ⇒ Cần 110 số có 4 chữ số đầu tiên ⇒ x = 1000 + 110 - 1 = 1109. → Đáp số: x = 1109

Bài 27 – 28: Tính giá trị biểu thức đan dấu:

Bài 27:
a) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 1 + (3 - 2) + (5 - 4) + (7 - 6) + (9 - 8) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
b) 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + … + 95 - 97 + 99: Gồm 25 cặp số, mỗi cặp bằng -2 ⇒ Tổng = 25 × (-2) = -50.
c) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … + 98 - 99 - 100 + 101 = 1 + 25 nhóm (mỗi nhóm 4 số có tổng = 0) = 1 + 0 = 1.
→ Đáp số: a) 5; b) -50; c) 1

Bài 28: Tính B = 1,3 - 3,2 + 5,1 - 7 + 8,9 - 10,8 + … + 35,5 - 37,4 + 39,3 - 41,2 + 43,1
Dãy cách đều 1,9 có 23 số. Giữ nguyên 1,3 và ghép 22 số còn lại thành 11 cặp (mỗi cặp = 1,9):
B = 1,3 + 1,9 × 11 = 1,3 + 20,9 = 22,2.
→ Đáp số: B = 22,2