Tổng hợp kiến thức Toán học: Dấu hiệu chia hết và tuyển tập 57 bài tập tự luyện

1. Chia hết cho 2: Những số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
2. Chia hết cho 5: Những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
3. Chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
4. Chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
5. Chia hết cho 4: Các số có 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
6. Chia hết cho 25: Các số có 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 (tận cùng là 00, 25, 50, 75) thì chia hết cho 25.
7. Chia hết cho 8: Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
8. Chia hết cho 125: Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 (tận cùng là 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875) thì chia hết cho 125.
9. Tính chất chia hết của tổng và hiệu: Nếu a chia hết cho m và b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng (a + b) và hiệu (a - b) (với a ≥ b) cũng chia hết cho m.
10. Tính chất số dư của tổng: Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại đều chia hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r.
11. Hiệu hai số cùng số dư: Nếu a chia cho m dư r, b chia cho m cũng dư r thì hiệu (a - b) chia hết cho m (với a ≥ b, m > 0).
12. Tính chất chia hết của tích: Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m > 0).
13. Tích của hai số nguyên tố cùng nhau: Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0), và m, n chỉ cùng chia hết cho 1 (nguyên tố cùng nhau) thì a chia hết cho tích (m × n).
    Ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 nguyên tố cùng nhau) nên 18 chia hết cho 2 × 9 = 18; Số chia hết cho 4 và 9 thì chia hết cho 36; Số chia hết cho 5 và 9 thì chia hết cho 45.
14. Dư thiếu (dư m - 1): Nếu a chia cho m dư (m - 1) với m > 1 thì (a + 1) chia hết cho m.
15. Dư thừa 1: Nếu a chia cho m dư 1 (m > 1) thì (a - 1) chia hết cho m.

Phần 1: Lập số và tìm chữ số ẩn (Bài 1 – Bài 10)

• Bài 1: Từ 3 chữ số 0, 1, 2. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2.
• Bài 2: Viết tất cả các số chia hết cho 5 có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 1, 2, 5.
• Bài 3: Em hãy điền vào dấu * ở số 86* một chữ số để được số có 3 chữ số và:
  • a) Chia hết cho 2
  • b) Chia hết cho 3
  • c) Chia hết cho 5
  • d) Chia hết cho 9
  • e) Chia hết cho cả 2 và 5
  • g) Chia hết cho cả 3 và 9
• Bài 4: Hãy tìm các chữ số x, y sao cho số 17x8y chia hết cho cả 5 và 9.
• Bài 5: Tìm x, y để số x765y chia hết cho cả 3 và 5.
• Bài 6: Tìm x và y để số 1996xy chia hết cho cả 2, 5 và 9.
• Bài 7: Tìm a và b để số a356b chia hết cho 36.
• Bài 8: Tìm tất cả các chữ số a và b để phân số 1a83b / 45 nhận giá trị là một số tự nhiên.
• Bài 9: Tìm chữ số x để biểu thức (2x3 + x57) chia hết cho 3.
• Bài 10: Tìm a và b để số a391b chia hết cho 9 và chia cho 5 dư 1.

Phần 2: Cấu tạo số và điều kiện chia hết (Bài 11 – Bài 20)

• Bài 11: Tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau abc, biết rằng: abc = 7 × bc.
• Bài 12: Cho số 1x5y. Hãy tìm x và y để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2, 3 và khi chia cho 5 dư 4.
• Bài 13: Cho A = x036y. Tìm x và y để A chia cho 2, 5 và 9 đều có số dư là 1.
• Bài 14: Tìm một số có 4 chữ số chia hết cho 2, 3 và 5, biết rằng khi đổi vị trí các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi.
• Bài 15: Tìm tất cả các số có 3 chữ số, biết rằng: mỗi số đó chia hết cho 5 và khi chia mỗi số đó cho 9 ta được thương là số có 3 chữ số và không có dư.
• Bài 16: Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải số 283 để được một số mới chia hết cho cả 2, 3 và 5.
• Bài 17: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 5, biết rằng khi đọc ngược hay đọc xuôi số đó đều không thay đổi giá trị.
• Bài 18: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia cho 5 dư 3, chia cho 2 dư 1, chia cho 3 thì vừa hết và chữ số hàng trăm của nó là 8.
• Bài 19: Tìm một số lớn hơn 80 và nhỏ hơn 100, biết rằng lấy số đó cộng với 8 rồi chia cho 3 thì dư 2; nếu lấy số đó cộng với 17 rồi chia cho 5 thì cũng dư 2.
• Bài 20: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3, 4, 5 đều dư 1 và chia cho 7 thì không có dư.

Phần 3: Bài toán về số dư và tính chất chia hết (Bài 21 – Bài 30)

• Bài 21: Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải và một chữ số vào bên trái số 45 để được số lớn nhất có 5 chữ số thoả mãn tính chất: chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 9 dư 8.
• Bài 22: Tìm tất cả các số có hai chữ số khi chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 4.
• Bài 23: Tìm một số có 5 chữ số chia hết cho 25, biết rằng khi đọc các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại hoặc khi đổi chữ số hàng đơn vị với chữ số hàng trăm thì số đó không thay đổi.
• Bài 24: Tìm số abc (với c ≠ 0), biết số abc chia hết cho 45 và cba - abc = 396.
• Bài 25: Cho a là số tự nhiên có 3 chữ số. Viết các chữ số của a theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên b. Hỏi hiệu của 2 số đó có chia hết cho 3 hay không? Vì sao?
• Bài 26: Tìm một số tự nhiên nhỏ nhất khác 1, sao cho khi chia số đó cho 2, 3, 4, 5 và 7 đều có số dư là 1.
• Bài 27: Tìm các chữ số a, b, c sao cho số a7b8c9 chia hết cho 1001.
• Bài 28: Số a chia cho 4 dư 3, chia cho 9 dư 8. Hỏi a chia cho 36 dư bao nhiêu?
• Bài 29: Một số chia cho 11 dư 5, chia cho 12 dư 6. Hỏi số đó chia cho 132 thì dư bao nhiêu?
• Bài 30: Số a chia cho 6 dư 5, chia cho 5 dư 4. Hỏi số a chia cho 30 thì dư bao nhiêu?

Phần 4: Chứng minh chia hết và ứng dụng số dư (Bài 31 – Bài 40)

• Bài 31: Hãy chứng tỏ hiệu giữa số có dạng aabb và số được viết bởi các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chia hết cho 90.
• Bài 32: Với các chữ số a, b, c và a > b, hãy chứng tỏ rằng biểu thức (abab - baba) chia hết cho cả 9 và 101.
• Bài 33: Biết số a được viết bởi 54 chữ số 9. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà khi cộng số này với a ta được một số chia hết cho 45.
• Bài 34: Tìm số có 4 chữ số, biết rằng nếu đem số đó chia cho 131 thì dư 18, chia cho 132 thì dư 3.
• Bài 35: Cho m chia cho 5 dư 2, n chia cho 5 dư 3 và p = 2003 × m + 2004 × n. Tính xem p chia cho 5 dư mấy?
• Bài 36: Chia a cho 45 dư 17. Hỏi khi chia a cho 15 thì thương và số dư thay đổi như thế nào?
• Bài 37: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ giấy thành 4 mảnh. Lấy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ, sau đó lại lấy một số mảnh nhỏ xé tiếp… Khi ngừng xé, người ta đếm được 1999 mảnh lớn nhỏ cả thảy. Hỏi người ấy đếm đúng hay sai? Vì sao?
• Bài 38: Minh và Nhung đi mua 9 gói bánh và 6 gói kẹo. Nhung đưa cho cô bán hàng hai tờ giấy bạc loại 50.000 đồng và cô trả lại 36.000 đồng. Minh nói ngay: “Cô tính sai rồi!”. Hỏi Minh nói đúng hay sai? Giải thích tại sao (biết giá tiền mỗi gói bánh, kẹo là một số nguyên đồng).
• Bài 39: Cho tam giác ABC. Nối trung điểm các cạnh với nhau để tạo các tam giác nhỏ và cứ tiếp tục như vậy. Sau một số lần vẽ, bạn Minh đếm được 2003 tam giác, bạn Thông đếm được 2004 tam giác. Theo em bạn nào đếm đúng, bạn nào đếm sai?
• Bài 40: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là: 104, 115, 132, 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng có bao nhiêu quả mỗi loại?

Phần 5: Toán logic, dãy chữ lặp và thống kê (Bài 41 – Bài 57)

• Bài 41: Có 30 que với độ dài từ 1cm, 2cm, 3cm, …, 30cm. Có thể xếp các que đó để được: a) Một hình vuông không? b) Một hình chữ nhật không?
• Bài 42: An có 6 hộp ngòi bút: 15, 16, 18, 19, 20, 31 ngòi. An cho Hòa và Bình tổng cộng 5 hộp, biết số ngòi bút cho Bình bằng 1/2 số ngòi bút cho Hòa. Hỏi: a) An còn lại hộp nào? b) Bình nhận được những hộp nào?
• Bài 43: Cửa hàng có 6 hòm xà phòng: 18kg, 19kg, 21kg, 22kg, 23kg, 34kg. Bán trong ngày hết 5 hòm, khối lượng bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều. Hỏi cửa hàng còn lại hòm nào?
• Bài 44: Cửa hàng có 7 tấm vải gồm vải hoa và vải xanh: 24m, 26m, 37m, 41m, 54m, 55m, 58m. Bán 6 tấm còn lại 1 tấm vải xanh, trong số đã bán vải xanh gấp 3 lần vải hoa. Hỏi cửa hàng có bao nhiêu mét vải mỗi loại?
• Bài 45: Tìm số a (200 < a < 300), biết: (a + 12) chia 5 dư 2; (a + 19) chia 6 dư 1 và chia 7 dư 5.
• Bài 46: Chứng tỏ rằng không thể thay các chữ cái bằng chữ số thích hợp để phép tính sau đúng: hochochoc + taptaptap = 1234567891 hoặc hochochoc - taptaptap = 12345671.
• Bài 47: Viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy.
  • a) Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì?
  • b) Đếm được 50 chữ T thì dãy có bao nhiêu chữ O, chữ I?
  • c) An đếm được 2007 chữ O, hỏi An đếm đúng hay sai?
  • d) Tô màu theo thứ tự Xanh, Đỏ, Tím, Vàng lặp lại. Chữ cái thứ 2007 tô màu gì?
• Bài 48: Viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dãy.
  • a) Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?
  • b) Đếm được 1200 chữ H thì có bao nhiêu chữ A?
  • c) Bình đếm được 2008 chữ C, hỏi Bình đếm đúng hay sai?
• Bài 49: Vĩnh nghĩ ra 2 số tự nhiên liên tiếp (có 1 số chia hết cho 9). Tổng 2 số là số có 3 chữ số, chia hết cho 5, tổng chữ số hàng trăm và đơn vị chia hết cho 9, tổng chữ số hàng trăm và chục chia hết cho 4. Hãy tìm 2 số đó.
• Bài 50: Tổng số gà và vịt không quá 80 con, số gà gấp 5 lần số vịt. Nếu mua thêm 3 con vịt thì số gà gấp 4 lần số vịt. Hỏi ban đầu có bao nhiêu con gà và vịt?
• Bài 51: Có 5 chồng sách gồm 17, 11, 12, 26, 14 quyển (Toán hoặc Tiếng Việt). Bỏ 1 chồng đi phát thưởng, 4 chồng còn lại có số sách Toán gấp 3 lần Tiếng Việt. Hỏi có bao nhiêu sách mỗi loại trong các chồng còn lại?
• Bài 52: Tìm số thỏa mãn: Không phải số lẻ, nhỏ hơn 90, chia 3 dư 1 và có hai chữ số giống nhau.
• Bài 53: Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số, cùng chia hết cho 2 và 5, có tổng các chữ số bằng 18.
• Bài 54: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số: a) Chia hết cho 2? b) Không chia hết cho 2?
• Bài 55: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số: a) Chia hết cho 5? b) Không chia hết cho 5?
• Bài 56: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số: a) Chia hết cho 3? b) Không chia hết cho 3?
• Bài 57: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số: a) Chia hết cho 9? b) Không chia hết cho 9?